SEBUAH KELAS UMUM FUNGSI PEMBANGKIT POLINOMIAL LAGUERRE

 Jurnal Ketimpangan dan Fungsi Khusus

ISSN: 2217-4303, URL: http://www.ilirias.com
Volume 2 Edisi 2, Halaman 1-7.

SEBUAH KELAS UMUM FUNGSI PEMBANGKIT
POLINOMIAL LAGUERRE

B. S. DESALE & G. A. QASHASH

ABSTRAK. Dalam makalah ini kami telah memperoleh kelas umum baru dari fungsi pembangkit untuk polinom Laguerre  (x) umum yang telah dimodifikasi dengan metode teori grup.kami juga memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral untuk polinom Laguerre dan Jacoby umum yang dimodifikasi dengan bantuan dua operator turunan parsial linear. Akibatnya kami mengembalikan hasil dari Majumdar [1] dan memperhatikan bahwa hasil dari Das dan Chatterjea [2] adalah kasus khusus dari hasil kami.

1.     Pengenalan

Dalam koneksi teoritis dengan penggabungan fungsi pembangkit memiliki peran besar dalam studi fungsi khusus. Dengan beberapa langkah maju pada arah ini yang telah dibuat oleh beberapa peneliti [3, 4, 5, 6]. Juga, fungsi khusus memiliki hubungan besar dengan aplikasi dalam matematika murni maupun terapan. Mereka muncul di dalam kerangka kerja yang berbeda. Mereka sering digunakan dalam analisis kombinatorial [7], dan bahkan dalam statistik [8]. Selain itu, polinomial Laguerre telah diterapkan di banyak konteks lainnya, seperti masalah Blissard (lihat [3]), representasi polinomial Lucas jenis pertama dan kedua [9, 10], rumus representasi aturan penjumlahan Newton untuk polinomial nol [11, 12], hubungan pengulangan untuk suatu kelas pada polinomial jenis Freud [13], representasi fungsi simetris dari satu set angka yg dapat dihitung, menggeneralisasikan rumus aljabar klasik Newton-Girard [14]. Akibatnya mereka juga digunakan [15] dalam rangka menemukan rumus reduksi untuk invariants ortogonal dari operator kompak ketat positif, berasal dari cara yang sederhana yang disebut Robert rumus [16]. Dalam studi mereka Darus dan Ibrahim [17] menggunakan kalkulusyang telah berubah bentuk untuk menentukan polinomial Laguerre umum dan fungsi khusus lainnya. Selain itu, mereka memberikan rumus representasi eksplisit untuk turunan tipe Laguerre yang telah dirubah dari fungsi komposit dan ilustrasi dengan beberapa  aplikasi. Sementara Mukherjee [18] memperpanjang fungsi pembangkit bilateral yang melibatkan polinomial Jacobi diperoleh oleh Chongdar [19] yang disajikan dengan baik dengan metode teori grup. Selain itu, ia telah membuktikan keberadaan implikasi fungsi pembangkit bilinear kuasi, adanya fungsi pembangkit yang lebih umum. Dalam jurnal mereka Alam dan Chongdar memperoleh beberapa hasil pada fungsi pembangkit bilateral dan trilateral dari polinomial Laguerre yang telah yang melibatkan polynomial Bessel yang dimodifikasi.

Dalam jurnal ini kami telah memperoleh sebuah kelas umum baru dari  fungsi pembangkit untuk polinomial  Laguerre  (x) umum yang telah dimodifikasi. Juga, kami telah memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral untuk polynomial Laguerre dan Jacobi umum yang telah dimodifikasi, yang telah didirikan oleh dua operator turunan parsial  linear.[1] Akibatnya kami mengembalikan hasil Majumdar. Selain itu, kami melihat bahwa hasil dari Das dan Chatterjea  adalah kasus khusus dari hasil kami.

Jurnal ini disusun dalam empat bagian. Pada bagian pertama, kami memberikan pengenalan untuk masalah ini. Sementara di bagian kedua, kami mengembangkan kelas umum baru untuk Laguerre dan polinomial Jacobi yang di modifikasi. Dan juga kami telah memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral. Pada bagian ketiga dari artikel ini, kami memberikan aplikasi untuk hasil kami, dan terakhir pada bagian empat, kami memberikan kesimpulan dari hasil tersebut.

2. Fungsi Pembangkit polinomial Laguerre

Pada bagian ini kita mengembangkan kelas baru dari fungsi pembangkit untuk polinomial Laguerre yang telah dimodifikasi. Kami juga memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral untuk polinomial Laguerre dan Jacobi yang dimodifikasi.

Dalam [2], Das dan Chatterjea telah mengklaim bahwa operator , diperoleh dengan interpretasi ganda untuk indeks (n) maupun parameter (α) dari polinomial Laguerre dalam metode teori Weisner, juga dalam [1] , Majumdar telah mempelajari fungsi pembangkit bilinear kuasi untuk polinomial Laguerre.

Sementara memperluas polinomial Laguerre  (x) umum yang telah di modifikasi, kita memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral untuk polinomial Laguerre dan Jacobi yang telah di modifikasi dengan menggunakan Teorema 2.1 dan Teorema 2.2. polinomial Laguerre ini, seperti yang diperkenalkan oleh penulis selanjutnya, didefinisikan sebagai berikut :

 

Teorema 2.1. Jika ada fungsi pembangkit dengan bentuk

G (x,u,w) =                                                                    (2.1)

kemudian

exp (-wx)

=                                   (2.2)                            

Bukti.

Mari kita lihat ke atas  dengan operator linier diferensial parsial berikut, yang telah dirujuk dari

                                                                                             (2.3)

Dan

                                                             (2.4)

Sehingga

,                                          (2.5)

Dan

 .                                      (2.6)

Kita juga memiliki

exp(wR1)f(x; y; z) = exp                                   (2.7)

Dan

exp(wR2)f(u,t) =  f                                                      (2.8)

Sekarang, kita pertimbangkan relasi pembangkit berikut

G(x,u,w) =                                                                   (2.9)

substitusikan w dengan wtz kemudian kalikan kedua ruas dengan  kita mendapatkan

                                               (2.10)

mengoperasikan exp (), exp () pada kedua ruas (2.10), yang kita memiliki

exp )

=exp                                            (2.11)

Dengan bantuan (2,7) dan (2.8). ruas kiri (2.11) dapat disederhanakan menjadi

exp                   (2.12)

Dan juga untuk ruas kanan dari (2.11) dengan bantuan (2,5) dan (2.6) dapat disederhanakan menjadi

         (2.13)

Oleh karena itu, bentuk sederhana dari (2.11) adalah

exp

=               (2.14)

Akhirnya substitusikan   pada (2.14), kita memperoleh fungsi pembangkit bilateral (2.15) untuk  polinomial Laguerre dan Jacobi umum yang telah di modifikasi .

Exp (-wx)  

=                                 (2.15)

Dari pernyataan-pernyataan di atas maka terbukti teorema 2.1.

Teorema 2.2. Jika terdapat relasi pembangkit bilateral dalam bentuk

                          G(x; v;w) = P_n⁽⁾ (x)  (v);                                         (2.16)

     Kemudian 

                     exp (-wv) G

              =   (x)  (v)                                              (2.17)

Bukti. Sekarang kita substitusikan variabel x, y dan z di operator  oleh v; dan t masing-masing. Dengan substitusi ini kita dapat menulis ulang operator  sebagai;

                    = vs^-1 t  + t  - vs^-1  t

     jadi

                    ( ) = (1 + n)  (v)                                    (2.18)    

     Mari kita mendefinisikan operator  

                = (1 – x²) y^-1 z  - z (x - 1)  - (1 + x) y^-1 z²  - (1 -) (1 + x) y^-1 z          (2.19)

(Satu yang penting dari [18] untuk lebih jelasnya tentang operator R3.) Operasi pada (x),  kita dapatkan

                        R₃ ((x)) = -2 (1 + n)  (x)                            (2.20)

     Kita juga memiliki

exp                         (2.21)

     dan

            exp                           (2.22)

     Sekarang kita mempertimbangkan pengembangan persamaan

                                                                      (2.23)

Pada persamaan di atas subtitusikan   dengan  kemudian di kalikan kedua ruas dengan  ,kita memperoleh

                                                     (2.24)

Kedua ruas dari (2.24) dikalikan dengan exp dan exp, maka  kita memperoleh persamaan:

                                                   (2.25)

Dengan bantuan (2.18) dan (2.20), ruas  kanan dari (2,25) dapat disederhanakan sebagai :

               

Ruas kiri dari (2,25) dengan bantuan (2.21) dan (2.22) dapat disederhanakan sebagai :

        

Oleh karena itu, bentuk sederhana (2,25) adalah

          

Akhirnya kita substitusikan s = y = z = t = 1 pada (2,28), sampailah kita pada bukti teorema.

3. Aplikasi

Jika kita menggunakan m = 0, kita melihat dari Teorema 2.1 bahwa G (x; u; w) untuk Po^(n,B)(u) = 1. Oleh karena itu, dari Teorema 2.1, kita menyimpulkan bahwa

         

(1)   Jika kita menempatkan a_n = 1, (3.1), kita memperoleh

Hasil ini sama seperti yang diperoleh oleh Das dan Chatterjea dalam jurnal mereka [2].

(2)   Jika kita kalikan kedua ruas (3.1) oleh r_­­ⁿ  maka, kita akan mendapatkan :

Dimana,

Hal ini kebetulan terjadi pada Teorema 1 di jurnal Majumdar (p: 195 cf [1].).

Kesimpulan

            Pada artikel ini, kami telah memperkenalkan sebuah kelas umum yang baru dari fungsi pembangkit dalam bentuk 2.1, untuk  polinomial Laguerre dan Jacobi yang telah dimodifikasi. Sedangkan, 2.16 adalah fungsi pembangkit bilateral untuk polinomial Laguerre dan Jacobi. Kami juga menunjukkan bahwa hasil dari Das dan Chaterjea (salah satunya merujuk [2]) adalah sebuah kasus tertentu dari teorema 2.1 untuk m = 0 dan a_n = 1. Juga dengan mengalikan kedua bagian dari 3.1 dengan rⁿ, Kita telah memperoleh hasil dari Majumdar [1] yang diberi oleh 3.3. 

Daftar  pustaka

                                                                                     

[1]          A. B. Majumdar, Some generating functions of Laguerre polynomials, Journal of Ramanujan Math. Soc. 10, (1995), pp. 195{199.

[2]         S. Das and S. K. Chatterjea, On a partial di_erential operator for Laguerre polynomials, Pure math. Manuscript, 4, (1985), pp. 187{193.

[3]         J. P. Singhal and H. M. Srivastava, A class of bilateral generating functions for certain classical polynomials, Paci_c J. Math. 42 (1972), pp. 355{362.

[4]         S. K. Chatterjea, Uni_cation of a class of bilateral generating relations for certain special functions, Bull. Cal. Math. Soc., 67 (1975), pp. 115{127.

[5]         S. K. Chatterjea, An extension of a class of bilateral generating functions for certain special functions, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 5(2) (1977).

[6]         A. K. Chongdar, On the uni_cation of a class of bilateral generating functions for certain special functions, Tamkang Jour. Math., 18 (3) (1987), pp. 53{59.

[7]         J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley Publications in Mathematical Statistics, John Wiley & Sons, New York, (1958).

[8]         M. G. Kendall and A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, Gri_n, London, (1958).

[9]         M. Bruschi and P. E. Ricci, Lucas and Cebysev polynomials in several variables, Rendiconti di Matematica. Serie VI 13 (1980), no. 4, pp. 507{529.

[10]      A. Di Cave and P. E. Ricci, On Bell polynomials and Fibonacci and Bernoulli numbers, Le Matematica 35 (1980), pp. 84{95.

[11]     T. Isoni, P. Natalini and P. E. Ricci, Symbolic computation of Newton sum rules for the zeros of orthogonal polynomials, Advanced Special Functions and Integration Methods, Proc. Mel_Sch. Adv. Top. Math. Phys., 2,(2001), pp. 97{112.

[12]     T. Isoni and P. Natalini, Symbolic computation of Newton sum rules for the zeros of polynomial eigenfunctions of linear di_erential operators, Numerical Algorithms 28 (2001), pp. 215{227.

[13]     A. Bernardini and P. E. Ricci, Bell polynomials and di_erential equations of Freud-type polynomials, Mathematical and Computer Modelling 36 (2002), pp. 1115{1119.

[14]     A. Kurosh, Cours d'Alg`ebre Superieure, Editions Mir, Moscow, (1971).

[15]      C. Cassisa and P. E. Ricci, Orthogonal invariants and the Bell polynomials, Rendiconti di Matema. Appl. Serie VII 20 (2000), pp. 293{303.

[16]      D. Robert, Invariants orthogonaux pour certaines classes d_operateurs, Journal Math. Pur. Appl.52 (1973), pp. 81{114.

[17]      M. Darus and R. W. Ibrahim, On New Laguere-Type of Functions Involving New Deformed Calculus, Adv. Studies Theor. Phys., 3, (2009), no. 9, pp. 313{322.

[18]      M. C. Mukherjee, An Extension of bilateral generating function of certain special Function, Real Academia de Ciencias, Zaragoza, 57, (2002), pp. 143{146.

[19]      A. K. Chongdar, On bilateral generating functions, Bull. Cal. Math. Soc., To appear.

[20]      S. Alam and A. K. Chongdar, On generating functions of modi_ed Laguerre polynomials, Rev. Real Academia de Ciencias, Zaragoza, 62, (2007), pp. 91{98.

[21]      P. K. Banerji and F. B. F. Mohsen, On Generating Functions Involving Laguerre and Modified Bessel Polynomials, Var_ahmihir Journal of Mathematical Sciences, Vol 2 No. 1, (2002),pp. 191{196.

[22]      E. D. Rainville, Special Functions, Macmillan (1960), New Yark.

B. S. Desale

Department of Mathematics,

School of Mathematical Sciences,

North Maharashtra University,

Jalgaon 425001, India.

E-mail address: bsdesale@rediffmail.com

G. A. Qashash

Department of Mathematics,

School of Mathematical Sciences,

North Maharashtra University,

Jalgaon 425001, India.

E-mail address: gamalkashash@yahoo.com

---

2000 Matematika Subyek diklasifikasikan kation. 33C45, 33C47, 33D45.
Kata kunci dan frase. Laguerre polinomial, polinomial Jacobi, fungsi Hipergeometris & Kelompok teori-metode.
©2011 Ilirias Publikasi, Prishtin e, Kosov e.
Dikirim 22 Januari 2011. Diterima September 12, 2011.