Jurnal Ketimpangan dan Fungsi Khusus
ISSN: 2217-4303, URL: http://www.ilirias.com
Volume 2 Edisi 2, Halaman 1-7.
Volume 2 Edisi 2, Halaman 1-7.
SEBUAH KELAS
UMUM FUNGSI PEMBANGKIT
POLINOMIAL LAGUERRE
POLINOMIAL LAGUERRE
B. S. DESALE & G. A. QASHASH
ABSTRAK.
Dalam makalah ini kami telah memperoleh
kelas umum baru dari fungsi pembangkit untuk polinom Laguerre
(x) umum yang telah
dimodifikasi dengan metode teori grup.kami juga memperkenalkan
fungsi pembangkit bilateral untuk polinom Laguerre dan Jacoby umum yang dimodifikasi dengan
bantuan dua operator turunan parsial linear. Akibatnya
kami mengembalikan hasil dari
Majumdar [1] dan memperhatikan bahwa hasil dari Das dan Chatterjea [2] adalah kasus
khusus dari hasil kami.
(x) umum yang telah
dimodifikasi dengan metode teori grup.kami juga memperkenalkan
fungsi pembangkit bilateral untuk polinom Laguerre dan Jacoby umum yang dimodifikasi dengan
bantuan dua operator turunan parsial linear. Akibatnya
kami mengembalikan hasil dari
Majumdar [1] dan memperhatikan bahwa hasil dari Das dan Chatterjea [2] adalah kasus
khusus dari hasil kami.
Dalam koneksi teoritis dengan penggabungan
fungsi pembangkit memiliki peran besar dalam studi fungsi khusus. Dengan beberapa langkah maju pada arah ini yang telah dibuat oleh beberapa peneliti [3, 4, 5, 6]. Juga,
fungsi khusus memiliki hubungan
besar dengan aplikasi
dalam matematika murni maupun terapan. Mereka muncul di dalam kerangka kerja yang
berbeda. Mereka sering digunakan dalam
analisis kombinatorial [7], dan
bahkan dalam statistik [8]. Selain itu, polinomial Laguerre telah diterapkan di banyak konteks lainnya, seperti
masalah Blissard (lihat [3]), representasi polinomial Lucas jenis pertama dan kedua [9, 10], rumus
representasi aturan penjumlahan Newton untuk
polinomial nol [11, 12], hubungan pengulangan untuk suatu kelas pada polinomial jenis Freud [13], representasi fungsi simetris dari satu set angka yg dapat
dihitung, menggeneralisasikan rumus aljabar klasik Newton-Girard [14]. Akibatnya mereka juga
digunakan [15] dalam rangka menemukan rumus reduksi untuk invariants ortogonal dari
operator kompak ketat positif, berasal dari
cara yang sederhana yang disebut Robert rumus [16]. Dalam studi mereka Darus
dan Ibrahim [17] menggunakan kalkulusyang telah
berubah bentuk untuk menentukan polinomial Laguerre umum dan fungsi khusus lainnya. Selain itu, mereka memberikan rumus representasi eksplisit untuk turunan
tipe Laguerre yang telah
dirubah dari fungsi komposit dan ilustrasi
dengan beberapa aplikasi. Sementara
Mukherjee [18] memperpanjang fungsi pembangkit bilateral yang melibatkan
polinomial Jacobi diperoleh oleh Chongdar [19] yang disajikan dengan baik dengan metode teori grup. Selain itu, ia telah membuktikan
keberadaan implikasi fungsi pembangkit bilinear kuasi, adanya
fungsi pembangkit yang lebih umum. Dalam jurnal mereka Alam dan
Chongdar memperoleh
beberapa hasil pada fungsi pembangkit
bilateral dan
trilateral dari polinomial
Laguerre yang telah yang melibatkan polynomial Bessel yang
dimodifikasi.
Dalam
jurnal
ini kami telah memperoleh sebuah
kelas umum
baru dari fungsi pembangkit
untuk polinomial Laguerre 
(x) umum yang telah dimodifikasi.
Juga, kami telah memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral
untuk polynomial
Laguerre
dan Jacobi umum yang telah dimodifikasi,
yang telah didirikan oleh dua operator turunan parsial linear.[1]
Akibatnya kami mengembalikan hasil
Majumdar. Selain itu, kami melihat bahwa hasil
dari Das dan Chatterjea adalah kasus khusus dari hasil kami.
(x) umum yang telah dimodifikasi.
Juga, kami telah memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral
untuk polynomial
Laguerre
dan Jacobi umum yang telah dimodifikasi,
yang telah didirikan oleh dua operator turunan parsial linear.[1]
Akibatnya kami mengembalikan hasil
Majumdar. Selain itu, kami melihat bahwa hasil
dari Das dan Chatterjea adalah kasus khusus dari hasil kami.
Jurnal
ini disusun dalam empat bagian. Pada bagian pertama,
kami memberikan pengenalan
untuk masalah ini.
Sementara di bagian kedua, kami mengembangkan kelas umum baru untuk Laguerre dan
polinomial Jacobi yang di modifikasi.
Dan juga kami
telah memperkenalkan fungsi pembangkit bilateral.
Pada bagian ketiga dari artikel ini, kami memberikan
aplikasi untuk hasil kami,
dan terakhir pada bagian
empat, kami memberikan kesimpulan dari hasil tersebut.
2. Fungsi Pembangkit
polinomial Laguerre
Pada bagian ini
kita mengembangkan kelas baru dari fungsi pembangkit
untuk polinomial Laguerre yang telah dimodifikasi.
Kami juga memperkenalkan
fungsi pembangkit bilateral untuk polinomial Laguerre dan
Jacobi yang dimodifikasi.
Dalam [2],
Das dan Chatterjea telah mengklaim bahwa operator 
,
diperoleh dengan
interpretasi
ganda untuk
indeks (n) maupun
parameter
(α) dari polinomial Laguerre
dalam metode teori Weisner,
juga dalam [1] , Majumdar
telah mempelajari fungsi pembangkit
bilinear kuasi untuk
polinomial Laguerre.
,
diperoleh dengan
interpretasi
ganda untuk
indeks (n) maupun
parameter
(α) dari polinomial Laguerre
dalam metode teori Weisner,
juga dalam [1] , Majumdar
telah mempelajari fungsi pembangkit
bilinear kuasi untuk
polinomial Laguerre.
Sementara memperluas polinomial Laguerre (x) umum yang telah di modifikasi,
kita memperkenalkan
fungsi
pembangkit bilateral untuk polinomial Laguerre dan
Jacobi yang telah di modifikasi
dengan menggunakan
Teorema 2.1 dan Teorema
2.2. polinomial Laguerre ini,
seperti yang
diperkenalkan
oleh penulis selanjutnya,
didefinisikan
sebagai berikut :
(x) umum yang telah di modifikasi,
kita memperkenalkan
fungsi
pembangkit bilateral untuk polinomial Laguerre dan
Jacobi yang telah di modifikasi
dengan menggunakan
Teorema 2.1 dan Teorema
2.2. polinomial Laguerre ini,
seperti yang
diperkenalkan
oleh penulis selanjutnya,
didefinisikan
sebagai berikut :
Teorema 2.1. Jika
ada fungsi pembangkit dengan bentuk
G (x,u,w) = 
(2.1)
(2.1)
kemudian
exp
(-wx) 
=
(2.2)
(2.2)
Bukti.
Mari
kita lihat ke atas dengan operator linier diferensial parsial
berikut, yang telah dirujuk dari
(2.3)
Dan
(2.4)
Sehingga
, (2.5)
Dan
. (2.6)
Kita juga memiliki
exp(wR1)f(x;
y; z) = exp 
(2.7)
(2.7)
Dan
exp(wR2)f(u,t)
= 
f
(2.8)
f (2.8)
Sekarang,
kita pertimbangkan relasi pembangkit
berikut
G(x,u,w)
= 
(2.9)
(2.9)
substitusikan w dengan wtz kemudian kalikan
kedua ruas dengan 
kita mendapatkan
kita mendapatkan
(2.10)
mengoperasikan exp (
), exp (
) pada kedua ruas (2.10), yang kita memiliki
), exp () pada kedua ruas (2.10), yang kita memiliki
exp
)
)
=exp
(2.11)
(2.11)
Dengan
bantuan (2,7) dan (2.8). ruas kiri (2.11) dapat disederhanakan menjadi
exp
(2.12)
(2.12)
Dan juga untuk ruas kanan dari (2.11) dengan bantuan (2,5) dan (2.6) dapat disederhanakan menjadi
(2.13)
Oleh
karena itu, bentuk sederhana dari (2.11) adalah
exp
= 
(2.14)
(2.14)
Akhirnya substitusikan 
pada (2.14), kita memperoleh fungsi pembangkit bilateral (2.15) untuk polinomial Laguerre dan Jacobi umum yang telah di modifikasi .
pada (2.14), kita memperoleh fungsi pembangkit bilateral (2.15) untuk polinomial Laguerre dan Jacobi umum yang telah di modifikasi .
Exp
(-wx) 
=
(2.15)
(2.15)
Dari pernyataan-pernyataan di atas maka terbukti
teorema 2.1.
Teorema 2.2. Jika
terdapat relasi pembangkit bilateral dalam bentuk
G(x; v;w) = 
Pn(
)
(x) 
(v); (2.16)
Pn()
(x) (v); (2.16)
Kemudian
exp
(-wv) G 
=
(x) 
(v) (2.17)
(x) (v) (2.17)
Bukti. Sekarang kita substitusikan variabel x, y dan z di
operator oleh v; dan t masing-masing. Dengan substitusi ini kita dapat menulis
ulang operator sebagai;
oleh v; dan t masing-masing. Dengan substitusi ini kita dapat menulis
ulang operator sebagai;
= vs-1 t 
+ t 
- vs-1
t
jadi
(
)
= (1 + n) 
(v) 
(2.18)
Mari kita mendefinisikan operator 
= (1 – x2) y-1 z 
- z (x - 1) 
- (1 + x) y-1 z2 
- (1 -
)
(1 + x) y-1 z
(2.19)
(Satu
yang penting dari [18] untuk lebih jelasnya tentang operator R3.) Operasi pada 
(x), kita dapatkan
(x), kita dapatkan
R3 (
(x))
= -2 (1 + n) 
(x)
(2.20)
(x))
= -2 (1 + n) (x)
(2.20)
Kita juga
memiliki
exp
(2.21)
(2.21)
dan
exp
(2.22)
(2.22)
Sekarang kita mempertimbangkan
pengembangan persamaan
(2.23)
Pada persamaan
di atas subtitusikan 
dengan 
kemudian di kalikan kedua ruas dengan 
,kita memperoleh
dengan kemudian di kalikan kedua ruas dengan ,kita memperoleh
(2.24)
Kedua ruas dari
(2.24) dikalikan dengan exp
dan exp
, maka kita memperoleh persamaan:
dan exp, maka kita memperoleh persamaan:
(2.25)
Dengan bantuan (2.18) dan (2.20), ruas kanan dari
(2,25) dapat disederhanakan sebagai :
Ruas
kiri dari (2,25) dengan bantuan (2.21) dan (2.22) dapat disederhanakan sebagai
:
Oleh karena itu, bentuk sederhana (2,25)
adalah
Akhirnya kita substitusikan
s = y = z = t = 1 pada (2,28), sampailah kita pada bukti
teorema.
3.
Aplikasi
Jika kita menggunakan m = 0, kita
melihat dari Teorema 2.1 bahwa G (x; u; w)
untuk Po(n,B)(u) = 1. Oleh
karena itu, dari Teorema 2.1, kita menyimpulkan bahwa
(1)
Jika kita
menempatkan an =
1, (3.1), kita memperoleh
Hasil ini sama seperti yang diperoleh oleh Das dan
Chatterjea dalam jurnal mereka [2].
(2)
Jika kita
kalikan kedua ruas
(3.1) oleh rn maka, kita akan mendapatkan :
Dimana,
Hal ini kebetulan terjadi pada Teorema 1 di jurnal
Majumdar (p: 195 cf [1].).
Kesimpulan
Pada
artikel ini, kami telah memperkenalkan sebuah kelas umum yang baru dari fungsi pembangkit dalam
bentuk 2.1, untuk polinomial
Laguerre dan Jacobi yang telah
dimodifikasi. Sedangkan, 2.16 adalah fungsi pembangkit bilateral
untuk polinomial Laguerre dan Jacobi. Kami juga menunjukkan bahwa hasil dari Das dan Chaterjea (salah satunya merujuk [2]) adalah
sebuah kasus tertentu
dari teorema 2.1 untuk m = 0 dan an = 1. Juga dengan mengalikan kedua bagian
dari 3.1 dengan rn, Kita
telah memperoleh hasil dari
Majumdar
[1] yang diberi oleh 3.3.
Daftar pustaka
[1]
A. B. Majumdar, Some generating
functions of Laguerre polynomials, Journal of Ramanujan Math. Soc. 10, (1995), pp.
195{199.
[2]
S. Das and S. K. Chatterjea, On a partial di_erential operator for
Laguerre polynomials, Pure math. Manuscript, 4, (1985), pp. 187{193.
[3]
J. P. Singhal and H. M. Srivastava, A class of bilateral generating
functions for certain classical polynomials, Paci_c J. Math. 42 (1972), pp.
355{362.
[4]
S. K. Chatterjea, Uni_cation of a class of bilateral generating
relations for certain special functions, Bull. Cal. Math. Soc., 67 (1975), pp.
115{127.
[5]
S. K. Chatterjea, An extension of a class of bilateral generating
functions for certain special functions, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 5(2)
(1977).
[6]
A. K. Chongdar, On the uni_cation of a class of bilateral generating
functions for certain special functions, Tamkang Jour. Math., 18 (3) (1987),
pp. 53{59.
[7]
J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley
Publications in Mathematical Statistics, John Wiley & Sons, New York,
(1958).
[8]
M. G. Kendall and A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, Gri_n,
London, (1958).
[9]
M. Bruschi and P. E. Ricci, Lucas and Cebysev polynomials in several
variables, Rendiconti di Matematica. Serie VI 13 (1980), no. 4, pp. 507{529.
[10] A. Di Cave and
P. E. Ricci, On Bell polynomials and Fibonacci and Bernoulli numbers, Le Matematica
35 (1980), pp. 84{95.
[11] T. Isoni, P. Natalini and P. E. Ricci, Symbolic
computation of Newton sum rules for the zeros of orthogonal polynomials,
Advanced Special Functions and Integration Methods, Proc. Mel_Sch. Adv. Top.
Math. Phys., 2,(2001), pp. 97{112.
[12] T. Isoni and P. Natalini, Symbolic computation of
Newton sum rules for the zeros of polynomial eigenfunctions of linear
di_erential operators, Numerical Algorithms 28 (2001), pp. 215{227.
[13] A. Bernardini and P. E. Ricci, Bell polynomials and
di_erential equations of Freud-type polynomials, Mathematical and Computer
Modelling 36 (2002), pp. 1115{1119.
[14] A. Kurosh, Cours d'Alg`ebre Superieure, Editions Mir,
Moscow, (1971).
[15] C. Cassisa and
P. E. Ricci, Orthogonal invariants and the Bell polynomials, Rendiconti di Matema.
Appl. Serie VII 20 (2000), pp. 293{303.
[16] D. Robert,
Invariants orthogonaux pour certaines classes d_operateurs, Journal Math. Pur. Appl.52
(1973), pp. 81{114.
[17] M. Darus and R.
W. Ibrahim, On New Laguere-Type of Functions Involving New Deformed Calculus,
Adv. Studies Theor. Phys., 3, (2009), no. 9, pp. 313{322.
[18] M. C.
Mukherjee, An Extension of bilateral generating function of certain special
Function, Real Academia de Ciencias, Zaragoza, 57, (2002), pp. 143{146.
[19] A. K. Chongdar,
On bilateral generating functions, Bull. Cal. Math. Soc., To appear.
[20] S. Alam and A.
K. Chongdar, On generating functions of modi_ed Laguerre polynomials, Rev. Real
Academia de Ciencias, Zaragoza, 62, (2007), pp. 91{98.
[21] P. K. Banerji
and F. B. F. Mohsen, On Generating Functions Involving Laguerre and Modified Bessel
Polynomials, Var_ahmihir Journal of Mathematical Sciences, Vol 2 No. 1,
(2002),pp. 191{196.
[22] E. D.
Rainville, Special Functions, Macmillan (1960), New Yark.
B. S. Desale
Department
of Mathematics,
School
of Mathematical Sciences,
North
Maharashtra University,
Jalgaon
425001, India.
E-mail
address: bsdesale@rediffmail.com
G. A. Qashash
Department
of Mathematics,
School
of Mathematical Sciences,
North
Maharashtra University,
Jalgaon
425001, India.
E-mail
address: gamalkashash@yahoo.com
